超曲面や等高線の法線ベクトルを直感的に理解する

この記事ではN次元空間における「超曲面と等高線(等値面)の法線ベクトル」の公式について、図と例を用いて直感的に分かりやすく説明しています。大学の初等数学が分かれば読める内容となっています。これが理解できれば、ラグランジュの未定乗数法や機械学習にも応用できます。

はじめに

前提知識となる知識

この記事では以下のような大学数学の概念が登場します。

• N次元ベクトルの性質や演算方法
• N変数関数・多変数関数の偏微分・勾配
• 陽関数と陰関数
• テイラー展開

これらについてご存知ない方は、以下の記事をご覧ください。短時間で学べます。

①N次元ベクトルについて

②N変数関数と偏微分について

超曲面と等値面

N変数関数は超曲面を表す

N変数からなる関数をN次元ベクトルxを用いて

と表記したとき、

一般的にNが2次元のときは曲線、Nが3次元のときは曲面、Nが4次元以上の時に超曲面と言います。

つまりN変数関数の陰関数表示、N-1変数関数の陽関数表示はN次元の超曲面を表します。

ちなみに直線や平面も曲面の一種です。

身近な例

陽関数 は2次曲線を表します。
陽関数は陰関数に変換することができ、 の形に式変形すると

と表せます。

という の形の関数を陽関数、 の形のものを陰関数というのでした。同じ関数を表しますが、変数の数が異なる点に注意して下さい。

等高線の表示方法

陽関数の超曲面が「同じ値となる場所に描いた線」を等高線といいます。(厳密には3次元以上のときは等値面といいます。)
山の地図に出てくる等高線と同じです。地図の等高線は山の同じ高さの部分に線を引いたものですが、数学的には山の高さがz座標となり、 が同じ高さとなるx-y平面上の線を表しています。

3次元の山を2次元の地図で表せたように、等高線は実際より低次元空間で超曲面を表現するのに役立ちます。

数式でN次元の場合に一般化すると、constを任意の定数として次のように書けます。

3次元における例を挙げます。

の放物面(放物線のN次元版)があったとき、等高線は次の図のようになります。

等高線を図で書く場合は、等高線を適当に数本ピックアップして図示します。
上の図は3次元の放物面の等高線をx-y平面に図示したものとなります。
例えば、z=20になる部分のx-y平面上の線(水色)、z=40となる線(緑)、z=60(オレンジ)となる線の三本を書きます。

それでは次に法線ベクトルの定義について説明していきます。

超曲面の法線ベクトル

をn次元ベクトルとします。 このとき、陰関数表示の超曲面 の法線ベクトルnは次のようになります。

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